Kalter Kaffee

"Stimmt's, dass der zu heiße Kaffee in der Tasse schneller trinkbar wird, wenn man erst die Milch dazutut und dann eine Weile wartet? Oder soll man zuerst warten und dann die Milch hinzufügen?", fragt Heinz Linnemann aus Essen Christoph Drösser antwortet

Machen wir es uns an einem Zahlenbeispiel klar: Der Kaffee sei 80 Grad heiß, die Milch habe ebenso wie die Umgebung 20 Grad, die gewünschte Trinktemperatur betrage 40 Grad. Und die Milchmenge sei der Einfachheit halber gleich der Kaffeemenge. Schüttet man die Milch gleich hinein, dann hat die Mischung eine Temperatur von 50 Grad, muss also nur noch um 10 Grad abkühlen. Im anderen Fall lässt man den Kaffee alleine auf 60 Grad abkühlen und mischt ihn dann mit der Milch. Was geht schneller?

Isaac Newton hat als Erster eine Formel für das Abkühlen von Flüssigkeiten aufgestellt. Eine Exponentialfunktion, in die neben der Flüssigkeits- und Umgebungstemperatur auch die Masse der Flüssigkeit eingeht. Grob gesagt: Je größer der Temperaturunterschied, desto schneller kühlt die Flüssigkeit. Deshalb ist es sinnvoll, den hohen Temperaturunterschied zu Beginn auszunutzen und erst nachher die Milch dazuzugeben.

Ein Beispiel:

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Wer das alles auch quantitativ nachvollziehen will, der muss sich durch ein paar Formeln kämpfen: Nach Newton beträgt die Temperatur T zum Zeitpunkt t

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Dabei ist T_U die Umgebungstemperatur und T_A die Anfangstemperatur der Flüssigkeit. Hinter k verbirgt sich eine Konstante, in die einige Faktoren eingehen:

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a ist ein Wärmeübergangskoeffizient, A die Wärme abstrahlende Fläche, c die Wärmekapazität der Flüssigkeit und m ihre Masse. Für unsere beiden Fälle können wir der Einfachheit halber nur die Masse als variabel ansehen, so dass wir schreiben können:

mit einer festen Konstanten C.

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Nun betrachten wir zwei Fälle: Im ersten lassen wir den Kaffee der Masse m abkühlen und schütten zum Zeitpunkt t die Milch dazu. Für diese Temperatur T₁ gilt:

Zur Erklärung: Der Kaffee kühlt von der Anfangstemperatur T_A1 gemäß der Newtonschon Formel ab, dann kommt die gleiche Menge Milch mit der Temperatur TU dazu, so dass der Mittelwert aus beiden Temperaturen gebildet werden muss.

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Zweiter Fall: Die Milch kommt sofort dazu. Dann gilt gemäß der Newtonschen Formel

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T_A2 ist aber genau das Mittel aus T_A1 und T_U, also

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Setzt man das ein, so erhält man

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Nun bilden wir die Differenz aus T₂ und T₁:

 

Schaut man sich das Produkt auf der rechten Seite an, so sieht man, dass alle Faktoren stets größer als 0 sind (die Anfangstemperatur des Kaffees ist größer als die Umgebungstemperatur, und der Exponent -Ct/2m ist ist größer als -Ct/m und damit auch die Exponentialfunktion). Egal zu welchem Zeitpunkt t man die Milch dazugießt - das Ergebnis ist immer kälter, als wenn man die Milch gleich am Anfang in den Kaffee geschüttet hätte.

 

 

Danke Christoph!